Числа - велетні

Числа велетні

Для скорочення запису великих чисел давно використовується система величин, в якій кожна з наступних в тисячу разів більше попередньої:

1000 одиниць – просто тисяча

1000 тисяч – 1 мільйон

1000 мільйонів – 1 більйон( або мільярд)

1000 більйонів – 1 трильйон 1000 трильйонів – 1 квадрильйон

1000 квадрильйонів - 1 квинтилліон

1000 квінтильйонів – 1секстилліон

1000 секстилліонів – 1 септілліон

1000 септілліонів – 1 октилліон

1000 октилліонів – 1 нонилліон

1000 нонилліонів – 1 децилліон

1000 децилліонів - ундецилліон.

Мільярд

Слово „мільярд" вживається у нас в сенсі тисячі мільйонів і грошових при обчисленнях і в точних науках. Але, наприклад, в Німеччині та Америці під мільярдом іноді мають на увазі не тисячу, а лише сто мільйонів. Цим, між іншим, можна пояснити те, що слово „мільярдер" було в ходу за океаном ще тоді, коли ні один з тамтешніх багатіїв не мав стану в тисячу мільйонів. Величезне стан Рокфеллера незадовго до війни обчислювалося всього 900 мільйонів доларів, а решту „мільярдерів"-меншими числами. Тільки під час війни з'явилися в Америці мільярдери в нашому сенсі слова (їх іноді називають на батьківщині „биллионерами"). Щоб скласти собі уявлення про величезності мільярда, уявіть собі, що в книжці в 200 сторінок не більше 200.000 букв. У п'яти таких книжках виявиться один мільйон букв. А мільярд букв буде укладати в собі стопка з 5.000 примірників такої книжки. Стопка, яка, будучи акуратно складена, склала б стовп заввишки з Ісаакіївський собор. Мільярд секунд годинник відіб'ють більш ніж 30 років (точніше в 31,7 років). А мільярд хвилин становить понад 19 століть; людство всього 29 квітня 1902 року в 10 годин 40 хвилин початок вважати другий мільярд хвилин від першого дня нашого літочислення.

Більйон і Трильйон

Відчути величезність цих числових велетнів важко навіть людині, досвідченому в поводженні з мільйонами. Велетень - мільйон такий самий карлик поруч зі сверхвеликаном биллионом, як одиниця поруч з мільйоном. Про це взаємовідносини ми забуваємо і не робимо в своїй уяві великої різниці між мільйоном, биллионом і трильйоном. Волосся, збільшений по товщині в мільярд раз, був би разів у 8 ширше земної кулі, а муха при такому збільшенні була б в 70 разів товщі Сонця! Взаємовідношення між мільйоном, биллионом і трильйоном можна з певною наочністю представити наступним чином. У Санкт – Петербурзі ще недавно було мільйон жителів. Уявіть собі довгий прямий ряд міст таких як Санкт – Петербург, цілий мільйон: у цій ланцюга столиць, що тягнуться на сім мільйонів кілометрів (в 20 разів далі Місяця) буде нараховуватися мільярд жителів... Тепер уявіть, що перед вами не один такий ряд міст, а цілий мільйон рядів, тобто квадрат, кожна сторона якого складається з мільйона Санкт – Петербургов і, який всередині суцільно заставлений такими містами: у цьому квадраті буде трильйон жителів. Одним трильйоном цегли можна було б, розміщуючи їх щільним шаром по твердій поверхні земної кулі, покрити всі материки суцільним рівномірним шаром висотою з чотириповерховий будинок (16 м). Якщо б всі видимі в найсильніші телескопи зірки обох небесних півкулях, тобто не менш як 500 мільйонів зірок були заселені і населені кожна, як наша Земля, то на всіх цих зірок, разом узятих, налічувався б тільки один трильйон людей. Молекула по ширині менше точки типографського шрифту приблизно в мільйон разів. Уявіть трильйон таких молекул, нанизаних впритул на одну нитку. Якої довжини була б ця нитка? Нею можна було б сім разів обмотати земну кулю по екватору. Світловий рік - шлях, прохідний променем світла в 1 рік (світло пробігає в секунду 300000 км); він дорівнює, приблизно, 9.5 биллионам км.

Числові велетні навколо і всередині нас

Часто можна зустрітися з числовими велетнями. Вони присутні всюди навколо і навіть всередині нас самих - треба лише вміти їх розглянути. Небо над головою, пісок під ногами, повітря навколо нас, кров у нашому тілі - все приховує в собі невидимих велетнів зі світу чисел. Числові велетні небесних просторів для більшості людей не є несподіваними. Добре відомо, що зайде мова про кількість зірок всесвіту, про їх відстанях від нас і між собою, про їх розмірах, вазі, віці - у всіх випадках ми незмінно зустрічаємося з числами, що пригнічують уяву своєю величезністю. Недаремно вираз «астрономічне число» стало крилатим. Багато хто, однак, не знають, що навіть і ті небесні тіла, які астрономи часто називають «маленькими», виявляються справжніми велетнями, якщо застосувати до них звичну земну мірку. Існують в нашій сонячній системі планети, які, зважаючи на їх незначних розмірів, отримали у астрономів найменування «малих». Серед них є й такі, поперечник яких дорівнює декільком кілометрам. В очах астронома, звиклого до велетенським масштабами, вони такі малі, що, говорячи про них, він зневажливо називає їх «крихітними». Але вони являють собою «крихітні» тіла тільки поряд з іншими небесними світилами, ще більш величезними: на звичайну ж людську мірку вони далеко не мініатюрні. Візьмемо таку «маленьку» планету з діаметром 3 км. За правилами геометрії легко розрахувати, що поверхня такого тіла укладає 28 кв. км, або 28 000 000 кв. м. На 1 кв. м може поміститися стоячи осіб 7. Значить, на 28 мільйонів кв. м знайдеться місце для 196 мільйонів чоловік. Пісок під нашими ногами також вводить нас у світ числових велетнів. Недарма склалося здавна вираз: «незліченні, як пісок морський». Стародавні недооцінювали численність піску, вважаючи її однаковою з численністю зірок. У давнину не було телескопів, а простим оком ми бачимо на небі всього близько 3500 зірок (в одному півкулі). Пісок на морському березі в мільйони разів більший, ніж зірки, доступні неозброєному зору. Найбільший числовий гігант ховається в тому повітрі, яким ми дихаємо. На кожний кубічний сантиметр повітря, кожен наперсток укладає в собі 27 квінтильйонів (тобто 27 з 18 нулями) найдрібніших частинок, званих «молекулами». Неможливо навіть уявити собі, як велике це число. Якщо б на світі було стільки людей, для них буквально забракло б місця на нашій планеті. Справді: поверхня земної кулі, вважаючи всі його материки і океани,- дорівнює 500 мільйонів кв. км. Роздрібнивши в квадратні метри, отримаємо 500 000 000 000 000 кв. м. Поділимо 27 квінтильйонів на це число, і ми отримаємо 54 000. Це означає, що на кожен квадратний метр земної поверхні доводилося б більше 50 тисяч чоловік! Числові велетні ховаються і всередині людського тіла. Покажемо це на прикладі нашої крові. Якщо краплю її розглянути під мікроскопом, то виявиться, що в ній плаває величезна безліч надзвичайно дрібних телець червоного кольору, які і надають крові її забарвлення. Кожне таке «червоне кров'яне тільце» має форму крихітної круглої подушечки, посередині втиснула. Всі вони у людини приблизно однакових розмірів і мають у поперечнику близько 0,007 мм, а товщину - 0,002 мм Зате кількість їх величезна. У крихітній краплині крові, об'ємом 1 куб. мм, їх полягає 5 мільйонів. Скільки ж їх всього в нашому тілі? У тілі людини приблизно в 14 разів менше літрів крові, ніж кілограмів в його вазі. Якщо ви важите 40 кг, то крові у вашому тілі близько 3 літрів, пли 3 000 000 куб. мм. Так як кожен куб. мм укладає 5 мільйонів червоних тілець, то загальне число їх у вашій крові

5 000 000 x 3 000 000=15 000 000 000 000.

15 трильйонів кров'яних тілець! Яку довжину займе ця армія кружечків, якщо викласти її в ряд один до іншого? Неважко розрахувати, що довжина такого ряду була б 105 000 км. Більш ніж на сто тисяч кілометрів розтягнулася б нитка з червоних тілець вашої крові. Нею можна було б обмотати земну кулю по екватору; 100 000 : 40 000=2,5 рази, а ниткою з кров'яних кульок дорослої людини три рази. Пояснимо, яке значення для нашого організму має таке подрібнення кров'яних тілець. Призначення цих тілець розносити кисень по всьому тілу. Вони захоплюють кисень, коли кров проходить через легені, і знову виділяють його, коли кров'яний потік заносить їх в тканини нашого тіла, у його найбільш віддалені від легких куточки. Сильне подрібнення цих тілець сприяє виконанню ними цього призначення, бо чим вони дрібніше, при величезній чисельності, тим більше їх поверхню, а кров'яне тільце може поглинати і виділяти кисень тільки зі своєї поверхні. Розрахунок показує, що загальна поверхня їх у багато разів перевершує поверхня людського тіла і дорівнює 1200 кв. м. Таку площу має великий город 40 м довжини і 30 м ширини. Тепер ви розумієте, наскільки важливо для життя організму те, що кров'яні тільця сильно роздроблені і так численні: вони можуть захоплювати і виділяти кисень на поверхні, яка в тисячу разів більше поверхні нашого тіла.

Скільки їжі поглинає людина за своє життя

Числовим велетнем слід назвати і той значний підсумок, який вийшов би, якщо б ви підрахували, скільки всякого роду їжі поглинає людина за 70 років середній життя. Цілий залізничний потяг знадобився б для перевезення тих тонн води, хліба, м'яса, дичини, риби, картоплі та інших овочів, тисяч яєць, тисяч літрів молока і т. д., які людина встигає поглинути протягом свого життя. Наочним прикладом є випадок, описаний Джонатаном Свіфтом у книзі «Пригоди Гуллівера у країні Лиллипутов». При вигляді його не віриш, що людина може впоратися з таким велетнем, буквально ковтаючи правда, не раз вантаж довгого товарного потяга.

Стигла макова голівка сповнена крихітних зерняток; з кожного може вирости ціле рослина. Скільки ж вийде маків, якщо зернятка до єдиного проросте? Щоб довідатися це, треба порахувати зернятка в цілій голівці. Нудне заняття, але результат такий цікавий, що варто запастися терпінням і довести рахунок до кінця. Виявляється, одна головка маку містить (круглим числом) 3000 зерняток. Що звідси випливає? Те, що будь навколо нашого макового рослини достатня площа придатної землі, кожне зернятко впало дало б росток, і майбутнім влітку на цьому місці виросло б вже 3000 маків. Ціле макове поле від однієї голівки! Подивимося, що буде далі. Кожне з 3000 рослин принесе не менше одного головки (частіше кілька), що містить 3000 зерен. Проросши, насіння кожної головки дадуть 3000 нових рослин, і, отже, на другий рік у нас буде вже не менше 3000 х 3000 = 9 000 000 рослин. Легко розрахувати, що на третій рік число нащадків нашого єдиного маку буде вже досягати 9 000 000 х 3000 = 27000 000 000. На п'ятому році макам стане тісно на земній кулі, тому що число рослин стане рівним 81 000 000 000 000 х 3000 = 243 000 000 000 000 000. Поверхня ж всій суші, тобто всіх материків і островів земної кулі, складає лише 135 мільйонів кв. км– 135 000 000 000 000 кв. м. приблизно у 200 разів менше, ніж зросло б примірників маку. Бачимо, що, якби всі зернята маку проростами, потомство однієї рослини могло б вже в п'ять років покрити суцільно всю сушу земної кулі густий зарослью по 2000 рослин на кожному квадратному метрі. Ось такий числовий велетень переховується в крихітному маковому зернятку!

Зробивши подібний розрахунок не для мака, а для якого–небудь іншого рослини, що приносить менше насіння, ми прийшли б до такого ж результату, але тільки потомство його покрила всю Землю не в п'ять років, а в трохи більший термін.

Візьмемо хоча б кульбаба, приносить щорічно близько 100 сім'янок.

Якщо б всі вони проростали, ми мали б:

В " 1-й рік 1 рослина

У "2-й" 100 рослин

У "3-й" 10 000

"4-й" 1 000 000

"5-й" 100 000 000

"6-й" 10 000 000 000

"7-й" 1 000 000 000 000

"8-й" 100 000 000 000 000

"9-й" 10 000 000 000 000 000

Це в понад 70 разів більше, ніж є квадратних метрів на всій суші. Отже, на дев'ятому році материки земної кулі були б покриті кульбабами, по 70 на кожному квадратному метрі. Чому ж насправді не спостерігаємо ми такого дивовижно швидкого розмноження? Тому що величезна більшість насіння гине, не даючи паростків: вони або не потрапляють на відповідну грунт і зовсім не проростають, або, почавши проростати, заглушуються іншими рослинами, або ж, нарешті, просто винищуються тваринами. Якщо б цього масового знищення насіння та паростків не було, кожна рослина в короткий час покрило б суцільно всю нашу планету.

Це вірно не тільки для рослин, але і для тварин. Не будь смерті, потомство однієї пари будь-якого тваринного рано чи пізно заповнило б усю Землю. Полчища сарани, суцільно покривають величезні простори, можуть дати деяке уявлення про те, що було б, якби смерть не перешкоджала розмноження живих істот. У якихось два-три десятки років материки вкрилися б непрохідними лісами і степами, де кишіли б мільйони тварин, які борються між собою за місце. Океан наповнився б рибою до того густо, що схожість стало б неможливо. А повітря зробився б ледь прозорим від безлічі птахів і комах... на закінчення наведемо кілька справжніх випадків надзвичайно швидкого розмноження тварин, поставлених сприятливі умови... В Америці спочатку не було горобців. Ця настільки звичайна у нас птиця була ввезена в Сполучені Штати навмисно з тією метою, щоб вона нищила там шкідливих комах. Горобець, як відомо, в достатку поїдає ненажерливих гусениць і інших комах, шкодить садам і городам. Нова обстановка полюбилася горобцям; в Америці не виявилося хижаків, які винищують цих птахів, і горобець став швидко розмножуватися. Кількість шкідливих комах почало помітно зменшуватися, але незабаром горобці так розмножилися, що за браком живої їжі взялися за рослинну і стали спустошувати посіви. Довелося приступити до боротьби з горобцями; боротьба ця обійшлася американцям так дорого, що на майбутнє був виданий закон, що забороняє ввезення в Америку яких би то не було тварин.

Гугол

Американський математик Кастнер винайшов «найбільше число» і назвав його «гугол». Це одиниця зі ста нулями! Тобто, 10 до 100. Хоча природний ряд чисел і нескінченний, все ж таки певною мірою гугол – це межа обчислюваного світу. Дамо простір своїй уяві і спробуємо перевірити це твердження. Обчислимо площу Землі в квадратних міліметрах – можна сподіватися, що вийде запаморочлива величина. Нічого подібного. Площа земної кулі дорівнює квадратних міліметрів. Якщо ж підрахуємо обсяг Землі в кубічних міліметрах, то отримаємо трохи більше число – 10 в 30. Але й це надто мало порівняно з гуголом. Якщо припустити, що в одному кубічному міліметрі вміститься десять піщинок, та підрахувати їх кількість в обсязі Землі, то вийде всього 10 в 31. Іншими словами, Земля надто мала для якого б то не було обчислення в масштабах гугола.

Візьмемо простори космосу і спробуємо виразити відстань між зірками в ангстремах – один ангстрем дорівнює однієї десятимільйонної частки міліметра. Зазвичай міжзоряні відстані вимірюють у світлових роках – це відстань, яку сонячний промінь проходить за рік – приблизно 9,5 трильйонів кілометрів. І якщо виразити світловий рік в ангстремах, то отримаємо 10 до 26 ангстрема.

І відстань до найвіддаленіших галактик не перевищує ангстрем. Припустимо, що Всесвіт має обмежені розміри (що не доведено) і порівняти цей найбільший фізичний об'єкт, відомий людям, з ядром атома – одним з самих малих об'єктів, вивчених фізиками. Співвідношення між ними становитиме 10 в 40. Це також не гугол.

А тепер підрахуємо вік Всесвіту. Найкоротший час, який ми використовуємо в цьому обчисленні, становить ту мить, який необхідний світловому променю, щоб перетнути діаметр атомного ядра. Виходить, що вік Всесвіту в цих одиницях становить 10 в 40.

Перерахуємо всі атомні частинки, існуючі у відомому нам Всесвіті: протони, електрони, нейтрони, а також нейтрино і фотони. Навіть в одній порошині міститься кілька мільярдів елементарних частинок. А у Всесвіті їх 10 в 88 – тобто мільйонна мільйонної частини гугола!

Енергія, що випромінюється усіма зірками у Всесвіті, повинна бути виключно велика. Але навіть виражена в мікроватах, вона не досягає 10 в 40.

Гугол - недосяжний, навіть якщо підрахувати, скільки енергії міститься у всій речовині Всесвіту.

Звичайно, знаючи такі величезні числа. У цьому разі запис числа займає багато місця і мало наочна. Незручно було б з ними працювати . Тому вирішено було змінити написання таких чисел. При запису великих чисел часто використовують степінь числа 10.

Таким чином,

Тисяча – 1000 = 10 в 3

Мільйон – 1000000 = 10 в 6

Більйон – 1000000000=10 в 9

Трильйон -1000000000000 = 10 в 12

Квадрильйон – 1000000000000000=10 до 15

Квинтиллион – 1000000000000000000 = 10 в 18